cubes en perspective

Introduction : pourquoi ce blog ?

Un cube vu en perspective 

   petit cube rouge

Dessiner un cube en perspective est facile de chic et cela suffit la plupart du temps : on dessine l'arête verticale la plus proche (OE ci-dessous), on se fixe deux points de fuite sur l'horizon et on place au jugé chacune des deux autres arêtes verticales visibles, à droite (ici DF) et à gauche (ici CG) de cette arête proximale. Etant vues en perspective, ces deux arêtes latérales ont une hauteur plus courte que l'arête proximale.

On fait en sorte que l'ensemble ressemble effectivement à un cube. Donc on évite de placer ces deux arêtes trop près (D''F" et/ou C"G")  ou trop loin (D'F' et/ou C'G') de l'arête principale, qui, elle, est vue en vraie grandeur. 

20200624_114812_dessin de chic

 

L'important est que le résultat ne choque pas l'oeil (comme ce serait le cas si on avait placé les deux points de fuite à des hauteurs sensiblement différentes : essayez pour voir ce que cela donnerait).

 

Ceci dit, où donc placer des deux arêtes verticales latérales ?

Ce double choix n'a rien d'évident : est-on si sûr que le meilleur tracé du cube est celui qui utilise les arêtes DF et CG ? Pourquoi pas, plutôt, les arêtes DF et C'G' ? Ou, au contraire, l'arête D'F', voire D"F", conjuguée à l'arête C'G' ?

Ce choix n'a pas beaucoup d'importance en général tant qu'il n'aboutit pas à un volume manifestement déformé, dans lequel l'oeil ne saurait reconnaître un cube.

Et puis, quand on dessine la ville, ou a fortiori la nature avec de rares bâtiments, on a peu souvent affaire à des cubes parfaits.

Or, s'il s'agit de dessiner des parallélépidèdes rectangles, on n'a plus la double exigence, spécifique au cube, d'égalité des longueurs des douze côtés, et spécifiquement d'égalité des longueurs des trois arêtes verticales visibles. En effet :

     * les parallélépidèdes rectangles qui ont une face carrée nécessitent qu'on respecte l'égalité de longueur entre une arête verticale de ce carré et une des trois arêtes horizontales qui sont issues d'une de ses extrémités (et alors il sera facile de faire en sorte que les deux autres aient la bonne longueur)

     * les parallélépidèdes rectangles qui n'ont pas de face carrée ont des allures que l'oeil juge vraisemblable dès lors qu'est respectée la convergence des côtés vers les points de fuite (un seul point de fuite en cas de vue frontale, deux la plupart du temps, trois si l'objet est vu en très nette plongée ou contre-plongée).

Conclusion : ceux qui aiment simplement dessiner, et dessiner simplement, n'ont pas besoin de s'embarrasser des complexités d'une construction géométrique rigoureuse, du type de celle exigée pour des dessins précis d'architecture.

 

Comment faire si on a besoin de représenter un vrai cube ?

Mais on peut, dans certains cas ou par curiosité intellectuelle, vouloir être sûr que le volume qu'on dessine est bel et bien un cube, et non pas un parallélépipède rectangle quelconque. Et alors le tracé n'a rien de simple. 

Cela mériterait d'être signalé dans les ouvrages ou tutoriels prétendant traiter des méthodes de construction en perspective. On comprendrait alors pourquoi la quasi-totalité de ces livres, documents téléchargeables ou vidéos, ne traite pas, à ma connaissance, de la question de la construction rigoureuse d'un cube en perspective.

C'est parce que je n'ai pas trouvé de source fournissant, sur ce sujet, une explication compréhensible, que j'ai créé ce blog. J'y explique, étape par étape, une des méthodes permettant de tracer, au moyen d'une règle graduée, d'un rapporteur et d'un compas, n'importe quel cube posé sur une de ses faces : on choisit la longueur de son arête et l'angle qu'il fait avec ce qu'on appelle le tableau (le plan vertical translucide sur lequel on peut dessiner ce qu'on voit derrière lui) ; et on choisit le point de vue de l'observateur : la hauteur de ses yeux (qui détermine la position de l'horizon), la distance à laquelle il se situe du plan du tableau et, enfin, l'écart entre le milieu du tableau, où aboutit son regard en ligne droite, et l'arête verticale du cube vue en vraie grandeur (ainsi le cube peut-il être vu de façon un peu décalée à droite ou à gauche).

Cette méthode, qui utilise les deux points d'égale résection et les deux points de fuite des hauteurs, est expliquée ici étape par étape, de telle sorte que l'on puisse l'appliquer soi-même pas à pas.

Cette façon de la présenter contraste avec le seul exposé que j'en ai trouvé : une page de graphiques complexes juxtaposés avec, en regard, une page fournissant des "explications" si denses et si bizarres (même nom donné à plusieurs lettres, droite désignée par le nom d'un de ses points, angle dénommé de façon imprécise, ...) qu'elles sont quasi-incompréhensibles ; aucune justification n'est fournie, ni quant à l'appellation "égale résection" ni quant aux raisons pour lesquelles ces tracés permettent d'aboutir à un cube.

 

Le contenu des autres pages de ce blog

La page suivante (A) est consacrée à la construction, étape par étape, d'un cube dont j'ai fixé les caractéristiques.

La troisième page (B) donnera de multiples exemples de cubes, dans diverses positions et vus de diverses manières, tracés avec cette méthode.

 

Pour finir, un mot quant à la façon dont j'ai obtenu tous ces tracés :

   - ce n'est pas, comme le font les auteurs d'ouvrages ou de tutoriels sur la perspective, en prenant des photos successives, échelonnées dans le temps, de la construction dont ils font la démonstration

   - c'est au moyen d'un programme informatique qui opère de façon immédiate tous les tracés nécessaires dès lors qu'on lui a fourni les valeurs des caractéristiques du cube, de sa position et de l'observateur. Techniquement, c'est le logiciel SAS (gestion de données et statistiques) que j'ai utilisé ici, après quelques essais en utilisant des logiciels de tracés géométriques (comme GeoGebra). J'ai utilisé l'Annotate Facility et la procédure graphique GPLOT, complétées par de petits macro-programmes de mon cru (ex. : %arc_de_cercle). Après écriture du code (quelques centaines de lignes, hors commentaires) du macro-programme principal, traçant les cubes en fonction des valeurs fournies pour les dix paramètres, le plus long a été de transformer ce code en un programme générant automatiquement la succession des graphiques étape par étape (graphiques dont chacun est accompagné de ses instructions de tracé). Les déformations des tracés des arcs de cercle produits par ODS RTF m'ont conduit à préférer les sorties, au format png, de ODS HTML.

 

 

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A. Etapes de la construction d'un cube en perspective

Je présente ci-dessous une méthode progressive, en huit étapes, de construction d'un cube en perspective.

Matériel nécessaire : munissez-vous d'une feuille de papier (blanche ou à carreaux, ou, mieux, millimétrée car cela vous facilitera la tâche) de format A4 voire A3, orientée en format long (façon paysage). Equipez-vous d'une règle graduée et d'un rapporteur translucides, ainsi que d'un compas, d'un crayon bien affûté et d'une gomme, et suivez pas à pas les instructions mentionnées sur chaque page.

     Si vous ne voulez pas avoir à recourir à des feuilles de papier complémentaires à cause de lignes de construction sortant des limites de l'épure, évitez de choisir, comme valeurs de paramètres, des caractéristiques telles qu'une arête de trop grande taille, une position du cube qui forme un angle de moins de 30° ou de plus de 60° avec le plan du tableau, un trop grand décalage du cube vers la droite ou la gauche, une trop grande distance de l'observateur par rapport au cube, un horizon trop petit compte tenu de la distance.

Conseil : commencez par adopter, pour votre premier tracé, les valeurs utilisées pour un des exemples de cube en perspective fournis dans la page suivante (ces valeurs sont toujours mentionnées en tête de tracé). Puis modifiez ad nutum les valeurs des paramètres.

Pour mémoire : les images ci-dessous ont été créées par mon programme SAS <etapes_3_cube_en_perspective.sas>.

 

gplot10

gplot11

gplot12

gplot13

gplot14

gplot15

gplot16

gplot17

gplot18

 

Et voilà ! Vous avez tracé un cube de façon rigoureuse.

      Au-delà de la satisfaction intellectuelle liée à une solution trouvée à un problème apparemment simple mais, de fait, très négligé (en raison, justement, de sa complexité inavouée),  savoir tracer un cube de façon rigoureuse peut notamment vous être utile si vous voulez dessiner des cercles en perspective et que ceux-ci s'inscrivent chacun dans un carré correspondant à la face d'un cube. Vous pourrez utiliser les intersections des diagonales de chaque face du cube pour déterminer les milieux des arêtes du cube, ce qui vous permettra de situer les points de tangence sphère-cube.

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B. Dessins de cubes dans diverses positions

 

Comparez les dessins ci-dessous et voyez les effets, sur les tracés, des modifications des paramètres

 

Je présente ci-dessous huit tracés différents, correspondant à diverses positions combinées du cube et de l'observateur :

1. Cube décalé à droite, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 40° avec le tableau (= cas du tracé détaillé ci-dessus)

2. Cube vu par dessus, juste un peu, et de face (vue frontale, point de fuite unique, face à l'observateur)

3. Cube vu par dessus, d'assez haut, et de face (vue frontale, point de fuite unique, face à l'observateur)

4. Cube décalé à gauche, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 30° avec le tableau

5. Cube décalé à gauche, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 60° avec le tableau

6. Cube centré, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 30° avec le tableau

7. Cube centré, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 60° avec le tableau

8. Cube centré, vu par dessus et dont chaque face forme un angle de 45° avec le tableau

Pour mémoire : tracés obtenus avec mon programme SAS <etapes_3_cube_en_perspective.sas>, qui utilise mon macro-programme  %essais_etapes_cube.

 

1. Cube décalé à droite, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 40° avec le tableau (= cas du tracé détaillé ci-dessus)

cube1

 

 

2. Cube vu par dessus, juste un peu, et de face (vue frontale, point de fuite unique, face à l'observateur)

 Parce que le programme informatique n'a pas été conçu pour des vues frontales, il a fallu spécifier un angle très faible (1°) et non pas exactement nul; et le tracé produit ici est imparfait, notamment en ce qu'il fait figurer en trait continu les arêtes GC et CO, qui, étant cachées, devraient être en tiretés.     

cube2

 

3. Cube vu par dessus, d'assez haut, et de face (vue frontale, point de fuite unique, face à l'observateur)

cube3

 

 

 

4. Cube décalé à gauche, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 30° avec le tableau

cube4

 

 

 

5. Cube décalé à gauche, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 60° avec le tableau

cube5

 

 6. Cube centré, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 30° avec le tableau

cube6

 

7. Cube centré, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 60° avec le tableau

 

cube7

 

8. Cube centré, vu par dessus et dont chaque face forme un angle de 45° avec le tableau

 

cube8

 

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