cubes en perspective

    Depuis la parution de mon premier post sur ce blog, j'ai travaillé la question de la représentation des ombres au moyen du logiciel SAS, le logiciel que j'utilise pour tracer les dessins en perspective qui illustrent les phases de la construction d'un objet en perspective.

    J'ai d'abord mis au point une solution sui generis, appliquée à l'ombrage d'un quadrilatère : mon code SAS trace des droites parallèles, plus ou moins serrées selon que l'on désire donner une impression foncée ou claire, qui sont issues des points situés sur un côté du quadrilatère et qui rejoignent un autre côté (opposé ou adjacent à l'arête de départ selon la pente choisie pour les rayures et selon l'emplacement du point d'origine sur l'arête de départ). Cela nécessite, pour chaque segment reliant deux côtés pour contribuer à figurer l'ombre, le calcul des coordonnées de l'intersection de ce segment avec le côté d'arrivée. Le résultat obtenu est satisfaisant mais le processus d'ombrage reste ad hoc alors qu'il faudrait qu'il soit immédiatement généralisable à tout quadrilatère afin de pouvoir servir aisément pour ombrer n'importe quelle face d'un cube.

    La seconde solution que j'ai créée fait un pas dans cette direction : utilisant les signes d'une multitude de déterminants, elle classe tous les points (pixels) de l'écran en deux catégories, l'une étant constituée par l'ensemble des points intérieurs au quadrilatère - auxquels on donne la couleur qu'on veut, sombre par exemple -, l'autre rassemblant les points extérieurs (qu'on allume d'une couleur différente).

    Puis j'ai trouvé une façon d'ombrer qui m'épargnait l'essentiel du travail de création de code SAS, et c'est donc celle que j'ai adoptée, avec, pour commencer, des résultats du type suivant :

       Le problème est ici dû au fait que l'écran d'ordinateur, de format "Paysage", déforme le tracé du cube et le transforme, en l'étirant en longueur, en un parallélépipède. D'où une (assez longue) recherche des moyens merpettant d'éviter cette déformation, avec le résultat suivant, ressemblant enfin à un cube !

       Ces solutions alternatives de représentation des ombres ne servent qu'à améliorer le rendu visuel des objets de formes simples (et encore, hors sphères, cônes, etc.) en perspective : se bornant aux ombres propres (ex. : une face de cube non éclairée), elles ne fournissent pas de méthodes de construction des contours, en perspective, des ombres portées (ex. : l'ombre créée, par un cube, sur le sol situé du côté opposé à la source lumineuse).

       Or ces contours des ombres portées ne sont pas évidents à tracer, que ce soit sur le sol ou sur un mur. Disposer d'un outil qui permettrait de situer ces contours en fonction des divers paramètres (rayons parallèles du soleil versus rayons divergents d'une ampoule, hauteur du soleil sur l'horizon et place dans sa course, distance entre le sol et la fenêtre par laquelle la lumière pénètre dans la pièce, etc.).

       Certes j'ai pu observer et dessiner les ombres nettes formées, sur un sol en carrelage, par le soleil traversant une porte-fenêtre à carreaux... et j'ai vu leur déformation à mesure que le soleil progressait dans le ciel (ce qui rend bien utiles, pour des dessins ultérieurs, la prise de photos figeant les contours des ombres à différents moments de la course du soleil).

       Mais je ne sais pas, actuellement, où placer exactement, de façon cohérente entre elles, les quadrilatères lumineux dessinés sur le sol et sur les murs (adjacents ou opposé) par des ouvertures disposées à divers endroits dans un mur exposé au soleil.

       J'espère que je parviendrai à construire le programme SAS qui me permettra de prédire ces emplacements et donc d'illustrer chacune des étapes des modes de construction géométrique que j'ai trouvés dans les livres dont je dispose.

       Ce n'est pas gagné, mais c'est justement ce qui est stimulant : si seulement ce type de défi pouvait retarder la survenue de l'Alzheimer qui nous guette !

     Si j'ai décidé de créer ce blog c'est pour partager les solutions que j'ai trouvées (au sens "repérées", et non pas au sens "inventées"), après bien des efforts, à des problèmes de dessin en perspective qui, quoique basiques (ex. : dessiner un cube), sont soit vraiment très mal expliqués, soit tout simplement esquivés ou commodément passés sous silence dans les nombreux livres en français (dont la plupart sont des traductions de l'anglais) que j'ai achetés sur ce sujet et travaillés très en détail.

      J'ai, en effet, été extrêmement surpris et déçu de ne pas trouver, dans la quinzaine de livres ou fascicules papier de méthodes de dessin en perspective que j'ai achetés  sur ce thème ou dans les différents tutoriels que j'ai consultés sur le Web, les explications claires que je pensais y trouver, s'agissant de problèmes apparemment simples et, en tout cas, fondamentaux.

     J'aurais été spontanément tenté de consacrer une page de ce blog à fournir les références précises de ces ouvrages et tutoriels qui m'ont laissé sur ma faim.

     Pour chacun des livres, j'aurais en outre donné mon avis critique : en m'appuyant sur des photocopies des pages concernées, j'aurais souligné les vertus pédagogiques de tel ou tel procédé d'explication et mentionné son éventuelle originalité ; mais j'aurais aussi dit en quoi je trouvais tel passage incompréhensible - peut-être parce que mal traduit - et critiqué la façon d'esquiver les difficultés ou de les traiter de façon allusive, sans la rigueur nécessaire. Car il ne suffit pas d'être un excellent dessinateur et même d'être enseignant en arts plastiques pour savoir expliquer : combien de professeurs, en effet, dans toutes les disciplines, se font une gloire de ce titre alors qu'ils ne savent pas ou ne veulent pas se mettre à la place de leur public et s'adapter à ce que ce dernier connaît ou sait faire !

    Mais, outre que j'ai beaucoup annoté ces pages sur les exemplaires que j'ai achetés, je ne voudrais pas me mettre en contravention avec l'interdiction de reproduction liée à la protection de la propriété intellectuelle.

     Que les lecteurs de ce blog me pardonnent donc l'absence de ces références ; mais qu'ils n'hésitent pas à me signaler l'existence d'ouvrages et tutoriels (y compris en anglais) que je n'ai pas su trouver alors qu'ils expliquent de façon lumineuse les solutions aux problèmes traités dans ce blog !

       Mais comment partager, de la façon la plus efficace possible, les solutions techniques que j'ai identifiées ?

      J'aurais aimé pouvoir commencer par annoncer clairement, quand c'est le cas, l'existence de solutions alternatives, et mentionner les avantages et inconvénients de chacune d'elles, la solution préférable dans tel type de cas, etc. Mais je n'ai pas trouvé, pour l'instant, la source qui, ayant une connaissance suffisante du domaine et un souci d'exposition rationnelle (mais est-ce compatible avec l'âme artistique ?), me permettrait de pallier mon actuel manque de recul sur le sujet.

      Et j'aurais aimé aussi pouvoir faire précéder par de vraies explications, mathématiques ou intuitives, la liste des opérations techniques à reproduire. Mais je n'ai pas encore trouvé, chez les auteurs d'ouvrages ou de tutoriels sur la question, de telles explications (ex. : quel est le principe ou la propriété sur lequel s'appuie le tracé utilisant les "points d'égale résection", et que signifie cette appellation) ; ce qui fait que je suis frustré parce que je n'ai pas le sentiment d'avoir vraiment compris, et donc de maîtriser, les méthodes que j'expose : je ne suis en effet parvenu pour l'instant qu'au stade où on est capable de reproduire par soi-même le processus menant à certaines solutions de certains problèmes de dessin en perspective ; c'est déjà ça, mais en rester là serait à mes yeux très insatisfaisant.

      Ceci dit, comme mon objectif est d'expliquer chaque mode de construction de façon telle que le lecteur soit en mesure de refaire lui-même les étapes successives de la construction géométrique concernée, il m'a semblé que la méthode pédagogique la plus adaptée consistait à prendre le contre-pied du mode d'exposition privilégié par les deux auteurs (Georges DUBEUF, "Traité de perspective", 320 p., 1898, fac-similé Hachette-BnF, et Louis PARRENS, "Traité de perspective d'aspect. Tracé des ombres", 1961, Eyrolles, 12e édition 2004, 167 pages) chez lesquels j'avais trouvé les explications (complexes par nature, et embrouillées à souhait) du mode de construction du cube en perspective, à savoir :

    * ces auteurs fournissent (sans doute pour garder, à leurs ouvrages, un petit format tout en multipliant les cas de constructions géométriques qui y sont traités) des figures qui ne distinguent pas les étapes successives et qui accumulent donc sur une même page tous les traits de construction - comme on le voit bien sur la page 59 du Traité de G. DUBEUF, consacrée à la figure 67, illustrant le thème "La perspective d'objets situés dans l'espace" :

    * c'est sans toujours les séparer assez nettement que ces figures font souvent coexister plusieurs vues, et notamment la vue frontale (élévation), la vue par au-dessus (plan ou géométral) et la vue en perspective (+ un "profil" + un "schéma")

    * sans doute aussi par souci de limitation du nombre de pages, les textes de commentaires des figures sont extrêmement compacts et souvent partiels ; ce qui, chez L.PARRENS, se double de conventions d'écriture très pénalisantes pour la compréhension : ainsi, par exemple, sur telle figure, la lettre 'D' va faire référence non seulement à plusieurs points du graphique, mais aussi à un angle et à une demi-droite.

       Au rebours de ces choix qui aggravent les difficultés intrinsèques de compréhension des solutions techniques passablement complexes en elles-mêmes, j'ai choisi d'accompagner, étape par étape, le lecteur dans son processus de reproduction des opérations conduisant au dessin final en perspective : j'ai donc décomposé ce processus en phases successives n'incluant chacune qu'un nombre limité d'opérations simples, que je décris de façon précise dans le commentaire qui accompagne la figure. 

       Pour le tracé de ces figures successives, j'aurais pu recourir, comme le font certains auteurs de livres, à des photos que j'aurais prises à chaque étape de la construction géométrique concernée (comme on le fait dans les méthodes d'apprentissage de l'aquarelle ou de la peinture à l'huile, du croquis initial à la version finale).

       Mais cette façon de faire ne m'eût pas permis de montrer - sans refaire tous les dessins à chaque fois - en quoi le dessin final en perspective diffère lorsque l'on modifie tel ou tel paramètre : la hauteur des yeux du spectateur, sa distance au plan du tableau, les angles formés par les arêtes proximales du cube avec le plan du tableau, etc.

       Il me fallait donc trouver un moyen d'automatiser les tracés, et cela par moi-même car les logiciels gratuits existant dans ce domaine ne fournissaient pas le type de résultats dont j'avais besoin, et il n'était pas question que j'achète un logiciel professionnel du type de ceux qu'utilisent les architectes d'intérieur. Je me suis donc tourné vers un logiciel dont je suis familier parce que je l'utilise depuis longtemps, à savoir SAS, un des tout premiers outils mondiaux de Business Intelligence, payant et coûteux, mais dont je dispose d'une licence au titre de mon activité professionnelle.

       Le défi était, pour moi, de découvrir comment faire pour réaliser, avec ce logiciel dont je n'utilisais jusqu'alors que les fonctions de gestion de données et d'analyses statistiques, les tracés exigés par des représentations en perspective. M'initiant progressivement à la façon d'écrire le code générant ce type de tracés, j'ai mis en oeuvre les versions successives de l'Annotate Facility et le langage GTL (Graphic Template Language) et j'ai créé divers macro-programmes, ce qui m'a permis de générer, quasi instantanément, autant de cubes que je voulais, différant les uns des autres par la valeur des paramètres (taille du cube, hauteur des yeux du spectateur, sa distance au plan du tableau, etc.).

       Tout ceci est complètement transparent pour le lecteur de ce blog : il ne s'agit que de méthodes d'obtention flexible de tracés multiples, qui me permettent par exemple d'illustrer, à peu de frais pour moi en termes de temps de production, les limites que l'on rencontre lorsque l'on tente de représenter en perspective un cube trop décentré par rapport au rayon visuel qui va le plus directement (donc de façon orthogonale) de l'oeil du spectateur au tableau. Autrement dit, point n'est besoin, pour le lecteur s'intéressant à la construction d'un cube en perspective, de connaître SAS ou d'en disposer : il lui suffit, pour réaliser ce type de construction, de suivre pas à pas les diverses étapes (illustrées par des graphiques que j'ai construits de façon rigoureuse et flexible avec SAS).

      Ultime précision :  lorsque j'ai signalé, supra, que j'aurais aimé pouvoir (mais n'ai pas pu) commencer par annoncer clairement, quand c'est le cas, l'existence de solutions alternatives, je pensais à la construction d'un cube en perspective. En effet je crois avoir repéré plusieurs façons de faire mais, comme je n'ai pas compris pour l'instant que l'une d'entre elles (celle qui utilise les "points d'égale résection"), je m'en tiens à celle-ci, telle qu'elle est rapidement brossée par L. PARRENS page 81 (figure 109 et quelques lignes seulement d'instructions de construction). Mais je n'exclus pas que la méthode utilisée ibidem pp. 20-21, sous le titre "Vue d'angle. Echelle des hauteurs", pour le tracé d'un immeuble avec toit, soit transposable à un cube, moyennant deux contraintes supplémentaires (consacrant la nécessaire égalité de toutes les arêtes du cube). Et idem pour la méthode utilisée page 75, sous le titre "Méthode des points de fuite", pour le tracé d'un parallélépipède rectangle. Si je parviens à bien comprendre ces deux autres méthodes et à les adapter à la construction d'un cube, je leur consacrerai une page de ce blog.

Comparez les dessins ci-dessous et voyez les effets, sur les tracés, des modifications des paramètres

Je présente ci-dessous huit tracés différents, correspondant à diverses positions combinées du cube et de l'observateur :

1. Cube décalé à droite, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 40° avec le tableau (= cas du tracé détaillé ci-dessus)

2. Cube vu par dessus, juste un peu, et de face (vue frontale, point de fuite unique, face à l'observateur)

3. Cube vu par dessus, d'assez haut, et de face (vue frontale, point de fuite unique, face à l'observateur)

4. Cube décalé à gauche, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 30° avec le tableau

5. Cube décalé à gauche, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 60° avec le tableau

6. Cube centré, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 30° avec le tableau

7. Cube centré, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 60° avec le tableau

8. Cube centré, vu par dessus et dont chaque face forme un angle de 45° avec le tableau

Pour mémoire : tracés obtenus avec mon programme SAS <etapes_3_cube_en_perspective.sas>, qui utilise mon macro-programme  %essais_etapes_cube.

1. Cube décalé à droite, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 40° avec le tableau (= cas du tracé détaillé ci-dessus)

2. Cube vu par dessus, juste un peu, et de face (vue frontale, point de fuite unique, face à l'observateur)

 Parce que le programme informatique n'a pas été conçu pour des vues frontales, il a fallu spécifier un angle très faible (1°) et non pas exactement nul; et le tracé produit ici est imparfait, notamment en ce qu'il fait figurer en trait continu les arêtes GC et CO, qui, étant cachées, devraient être en tiretés.     

3. Cube vu par dessus, d'assez haut, et de face (vue frontale, point de fuite unique, face à l'observateur)

4. Cube décalé à gauche, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 30° avec le tableau

5. Cube décalé à gauche, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 60° avec le tableau

 6. Cube centré, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 30° avec le tableau

7. Cube centré, vu par dessus et dont la face de droite forme un angle de 60° avec le tableau

8. Cube centré, vu par dessus et dont chaque face forme un angle de 45° avec le tableau

Je présente ci-dessous une méthode progressive, en huit étapes, de construction d'un cube en perspective.

Matériel nécessaire : munissez-vous d'une feuille de papier (blanche ou à carreaux, ou, mieux, millimétrée car cela vous facilitera la tâche) de format A4 voire A3, orientée en format long (façon paysage). Equipez-vous d'une règle graduée et d'un rapporteur translucides, ainsi que d'un compas, d'un crayon bien affûté et d'une gomme, et suivez pas à pas les instructions mentionnées sur chaque page.

     Si vous ne voulez pas avoir à recourir à des feuilles de papier complémentaires à cause de lignes de construction sortant des limites de l'épure, évitez de choisir, comme valeurs de paramètres, des caractéristiques telles qu'une arête de trop grande taille, une position du cube qui forme un angle de moins de 30° ou de plus de 60° avec le plan du tableau, un trop grand décalage du cube vers la droite ou la gauche, une trop grande distance de l'observateur par rapport au cube, un horizon trop petit compte tenu de la distance.

Conseil : commencez par adopter, pour votre premier tracé, les valeurs utilisées pour un des exemples de cube en perspective fournis dans la page suivante (ces valeurs sont toujours mentionnées en tête de tracé). Puis modifiez ad nutum les valeurs des paramètres.

Pour mémoire : les images ci-dessous ont été créées par mon programme SAS <etapes_3_cube_en_perspective.sas>.

Et voilà ! Vous avez tracé un cube de façon rigoureuse.

      Au-delà de la satisfaction intellectuelle liée à une solution trouvée à un problème apparemment simple mais, de fait, très négligé (en raison, justement, de sa complexité inavouée),  savoir tracer un cube de façon rigoureuse peut notamment vous être utile si vous voulez dessiner des cercles en perspective et que ceux-ci s'inscrivent chacun dans un carré correspondant à la face d'un cube. Vous pourrez utiliser les intersections des diagonales de chaque face du cube pour déterminer les milieux des arêtes du cube, ce qui vous permettra de situer les points de tangence sphère-cube.